Turáns olikheter

Turán's olikheter är en serie olikheter för Legendrepolynom av Pál Turán. Senare har man bevisat ett flertal generalisationer av den.

Om Pn är det nte Legendrepolynomet, är Turán's olikhet

P n ( x ) 2 > P n − 1 ( x ) P n + 1 ( x )  för  − 1 < x < 1. {\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x){\text{ för }}-1<x<1.}

Om Hn, är det nte Hermitepolynomet är Turán's olikhet

H n ( x ) 2 − H n − 1 ( x ) H n + 1 ( x ) = ( n − 1 ) ! ⋅ ∑ i = 0 n − 1 2 n − i i ! H i ( x ) 2 > 0 {\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0}

och för Chebyshevpolynom är den

T n ( x ) 2 − T n − 1 ( x ) T n + 1 ( x ) = 1 − x 2 > 0  for  − 1 < x < 1. {\displaystyle \!T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0{\text{ for }}-1<x<1.}

Se även

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Turán's inequalities, 9 november 2013.