Involution (matematik)

Inom matematiken är en involution, en bijektiv funktion som är sin egen invers:

${\displaystyle f(f(x))=x}$,

eller alternativt

${\displaystyle f^{-1}=f}$.

Exempel

Reella tal

Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto -x}$

och

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} \quad x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

eftersom

${\displaystyle -(-x)=x}$ för alla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

och

${\displaystyle {\frac {1}{1/x}}=x}$ för alla ${\displaystyle x\neq 0}$.

Komplexa tal

Komplexkonjugering av ett tal är en involution:

${\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }$ där ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ avbildas vid komplexkojugering på talet:

${\displaystyle {\bar {z}}=z^{*}=a-b\mathrm {i} .}$

Vid ytterligare en komplexkonjugering fås

${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z^{**}=a+b\mathrm {i} =z}$

Involutioner i gruppteori

Ett element a i en grupp G kallas en involution om a² = e, där e är gruppens neutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppen abelsk. En grupp vars alla element är involutioner är Kleins fyrgrupp.

Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen

${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$

en involution och en gruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en gruppautomorfi.

Generellt är varje inre automorfi på en grupp G en involution.

Linjär algebra

En matris A kallas involutiv om A² = I, där I är enhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva och idempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion. Exempel:

I det tvådimensionella rummet är

${\displaystyle \ B={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ en projektion på x-axeln och

${\displaystyle \ A=2\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ en spegling av rummets punkter i samma axel.

Andra involutiva matriser är Paulis spinnmatriser.

Källor

• I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964.
• B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950.
• Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
• David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.

v • r Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori