Fresnels integraler

Inom matematiken är Fresnels integraler S(x) och C(x) två speciella funktioner uppkallade efter Augustin-Jean Fresnel som är nära relaterade till felfunktionen (erf). De definieras som integralerna

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.}$

Serieexpansioner

Fresnelintegralerna kan skrivas som följande oändliga serier som konvergerar för alla värden på x:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}}$.

Egenskaper

• C(x) och S(x) är udda funktioner av x.
• Med att använda serieexpansionen ovan kan Fresnelintegralerna definieras för alla komplexa tal.
• Fresnelintegralerna kan skrivas med hjälp av felfunktionen på följande vis:

${\displaystyle S(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],}$

${\displaystyle C(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].}$

eller ${\displaystyle S(z)+iC(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)}$

• C och S är hela funktioner.
• Integralerna som definierar C(x) och S(x) kan i allmänhet inte skrivas i sluten form med hjälp av elementära funktioner, med gränsvärden av funktionerna då x närmar sig oändlighet är kända:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fresnel integral, 30 november 2013.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Fresnels integraler.
  Bilder & media