Cartesisk produkt

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2018-12) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Den cartesiska eller kartesiska produkten eller mängdprodukten av två mängder ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ är mängden av alla ordnade par ${\displaystyle (a,b)}$ vars första element ${\displaystyle a}$ tillhör ${\displaystyle A}$ och vars andra element ${\displaystyle b}$ tillhör ${\displaystyle B}$. Produkten av ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ skrivs A × B, så definitionen kan sammanfattas

${\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}}$.

Mängdprodukten kallas "cartesisk" efter Renatus Cartesius, den latinska översättningen av René Descartes. Descartes införde nämligen de så kallade kartesiska koordinaterna, som i sin tur har inspirerat den mängdteoretiska definitionen. Om P är en punkt i ett plan med ett koordinatsystem, så kan P entydigt beskrivas med hjälp av sin "x-koordinat" och sin "y-koordinat". Punkten kan alltså representeras av ett ordnat par (a,b) av reella tal, där a och b är x-koordinaten respektive y-koordinaten. Mot varje punkt i planet svarar precis ett sådant par, och tvärtom. Mängden av alla möjliga sådana par av kartesiska koordinater för punkter i planet är just det som nu för tiden kallas den cartesiska produkten R × R eller R².

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (M_i)_i∈I är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i\in I\}}$.

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}M_{i}=M_{1}\times \ldots \times M_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i=1,\ldots ,n\}}$.

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A², A × A × A skrivs också A³, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ eller R².

Exempel:

• {1, 3, π} × {2, 17} = {(1, 2), (1, 17), (3, 2), (3, 17), (π, 2), (π, 17)}

Projektioner på koordinater

Man kan tolka den kartesiska "x-koordinaten" för en punkt P i planet som ett tal som beskriver den vinkelräta projektionen av punkten på x-axeln. Denna geometriska idé har generaliserats till allmänna cartesiska produkter. För en produkt över en indexmängd I och ett element i i I definierar man projektionen på den i:te koordinaten som funktionen

${\displaystyle \pi _{i}:\prod _{i\in I}M_{i}\rightarrow M_{i}{\hbox{ given av }}\pi _{i}{\bigl (}(x_{i})_{i\in I}{\bigr )}=x_{i}}$.

Denna projektion "plockar ut" den koordinat som hade indexet i. I exemplet ovan är π₂((3,17)) = 17. Projektioner betecknas också på många andra sätt än just med bokstaven π med index.

Det finns alltså en projektion för varje index, så att man för en cartesisk produkt över en indexmängd I får en hel familj (π_i)_i∈I av projektioner, över samma indexmängd.

Tolkning som direkta produkter

Den cartesiska produkten Π_I M_i av en familj (M_i)_I = (M_i)_i∈I av mängder har tillsammans med motsvarande familj (π_i)_I = (π_i)_i∈I en viss abstrakt kategoriteoretisk universell egenskap, som beskrivs nedan, i kategorin av mängder. Objekt och familjer av morfismer med denna egenskap kallas på kategoriteoretiskt språk för direkta produkter. Därför är cartesiska produkter direkta produkter i kategorin av mängder (med vanliga mängdteoretiska funktioner som morfismer).

Mängden Π_I M_i och funktionsfamiljen (π_i)_I har följande universella egenskap: För varje mängd N och familj (f_i)_I  av funktioner, där f_i går från N till M_i för varje index i, så finns en och endast en funktion g:N→Π_I M_i, sådan att det för varje index i gäller att π_i = f_iog. Det visar sig att detta unika g ges av att

${\displaystyle g(x)={\bigl (}f_{i}(x){\bigr )}_{i\in I}{\hbox{ för varje }}x\in N}$.

I många konkreta kategorier bildas direkta produkter som cartesiska produkter som "ärver" sina strukturer från faktorerna, och projektionerna är desamma som för vanliga mängdprodukter. Om till exempel V och W är två linjära rum, så kan den direkta produkten av dem beskrivas som den kartesiska produkten V &times:&W med komponentvisa operationer, vilket betyder att

${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v'} ,\mathbf {w'} )=(\mathbf {v} +\mathbf {v'} ,\mathbf {w} +\mathbf {w'} ){\hbox{ och }}a(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(a\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )}$,

för alla vektorer v och v'' i V, w och w' i W, och skalärer a.

Cartesisk produkt av funktioner

Om f är en funktion från A till B och g är en funktion från X till Y, så definieras deras cartesiska produkt f×g som den funktion från A×X till B×Y som uppfyller

${\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}$

Precis som för mängder kan detta utvidgas till godtyckliga familjer av funktioner.

Se även

• Direkt produkt
• Produkttopologi

Externa länkar

• Cartesian Product at ProvenMath (på engelska)
• En bra förklaring