Begränsad funktion

En begränsad funktion är inom matematiken en reell eller komplex funktion ${\displaystyle f}$, definierad på någon mängd ${\displaystyle X}$, sådan att mängden av ${\displaystyle f}$:s funktionsvärden är en begränsad mängd. Med andra ord existerar det något tal M så att:

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle X}$. Begränsade funktioner är av intresse vid beräkning av gränsvärden.

En reellvärd funktion ${\displaystyle f}$ sägs vara uppåt begränsad om det finns ett ${\displaystyle A}$ sådant att ${\displaystyle f(x)\leq A}$ för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle X}$ och att ${\displaystyle f}$ är nedåt begränsad om det finns ett ${\displaystyle B}$ sådant att ${\displaystyle f(x)\geq B}$ för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle X}$.

Ett specialfall fås då ${\displaystyle X}$ är de naturliga talen, då funktionen blir en talföljd ${\displaystyle (a_{n})}$ som sägs vara begränsad om det existerar något tal ${\displaystyle M}$ så att ${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$ för alla naturliga tal ${\displaystyle n}$.

En generalisering av begränsade funktioner ges inom metriska rum; om en funktion, definierad på någon mängd ${\displaystyle X}$, antar värden i ett metriskt rum ${\displaystyle Y}$, är funktionen begränsad om det i ${\displaystyle Y}$ existerar ett element ${\displaystyle a}$ sådant att för något ${\displaystyle M}$ är ${\displaystyle d(f(x),a)\leq M}$ för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle X}$.

Exempel

• Funktionen sinus för de reella talen (dock inte för de komplexa) antar endast värden mellan -1 och 1 och är alltså nedåt begränsad av -1 och uppåt begränsad av 1.
• Funktionen

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}}$

är definierad för alla reella ${\displaystyle x}$ som inte är -1 eller 1, är inte begränsad, eftersom funktionen växer obegränsat då ${\displaystyle x}$ går mot 1 eller -1. Om definitionsmängden tas att vara exempelvis intervallet ${\displaystyle [2,\infty [}$ är den dock begränsad.

• Varje kontinuerlig funktion från ett kompakt rum till ett metriskt rum är begränsad.
• Dirichlets funktion är begränsad.