Класс PH

Класс сложности PH (от англ. polynomial hierarchy) — объединение всех классов сложности из полиномиальной иерархии:

${\displaystyle {\mbox{PH}}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\left(\Sigma _{k}^{p}\cup \Pi _{k}^{p}\right)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\Sigma _{k}^{p}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\Pi _{k}^{p}}$

Таким образом, предикат принадлежит классу PH, если существует такое k, что предикат принадлежит классу ${\displaystyle \Sigma _{k}^{p}}$ или ${\displaystyle \Pi _{k}^{p}}$. Также говорят, что язык, распознаваемый таким предикатом (то есть множество всех слов, на которых предикат возвращает 1), принадлежит классу PH.

Класс языков PH в точности совпадает с классом языков, выразимых с помощью логики второго порядка.

Назовём конечной игрой следующую структуру. Имеется дерево, вершины которого помечены именами двух игроков A и B (все вершины одного уровня помечены одним и тем же именем, ходы чередуются), а рёбра соответствуют ходам игроков. Пусть дано некоторое начальное слово x — начальная конфигурация игры. Тогда количество уровней в дереве (т.е. количество ходов) равно некоторой функции f от длины x, а каждое ребро помечено словом длины g от длины x (ходом игрока является слово, которым помечено ребро). Имеется предикат ${\displaystyle R(x,w_{1}w_{2}w_{3}\dots )}$ от начальной конфигурации и последовательности ходов игроков, который определяет, кто выиграл (если он равен 1, то выиграл первый игрок). Поскольку игра конечна, то выигрышная стратегия всегда существует либо у первого игрока, либо у второго. Назовём игру распознающей язык L, если для каждого слова x из L у игрока A есть выигрышная стратегия.

Класс PH является классом всех языков, распознаваемых играми, такими, что f равна константе (т.е. количество ходов в игре фиксировано и не зависит от длины входного слова), а g является многочленом от длины x (таким образом, из каждой вершины дерева, кроме последней, исходит по ${\displaystyle 2^{p(n)}}$ рёбер, где ${\displaystyle p(n)}$ — этот многочлен).

В отличие от составляющих класс PH классов полиномиальной иерархии, про PH доподлинно известно, что он замкнут относительно пересечения, объединения и дополнения языков. Это означает, что если языки ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ принадлежат PH, то языки ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$, ${\displaystyle L_{1}\cup L_{2}}$ и ${\displaystyle L_{1}^{c}}$ принадлежат PH.

Для доказательства достаточно предъявить игры, распознающие эти комбинации языков, если имеются игры, распознающие ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$. Для дополнения передадим право первого хода другому игроку и в качестве предиката выигрыша возьмём ${\displaystyle \neg R_{1}}$. Для пересечения возьмём две игры, распознающие ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$, такими, что количество ходов в них одинаковое, а вторую начинает не тот игрок, который делает последний ход в первой. После этого в каждую концевую вершину первой игры добавим вторую игру, а в качестве предиката выигрыша возьмём ${\displaystyle R_{1}(x,\,\omega _{1})\wedge R_{2}(x,\,\omega _{2})}$, где ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$ — разбиение всей последовательности ходов на две: часть, соответствующая первой игре, и часть, соответствующая второй. Для объединения возьмём игры, распознающие ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$, с одинаковым количеством ходов и одинаковым первым игроком. Создадим новую вершину, соответствующую другому игроку, и прицепим к ней одно дерево первой игры (над этим ребром напишем слово 00...0) и оставшиеся ${\displaystyle 2^{p(n)}-1}$ рёбер второй игры. Первое слово игры обозначим z, а остальную часть последовательности слов — ${\displaystyle \omega }$, а в качестве предиката выигрыша возьмём ${\displaystyle (z=00\dots 0\wedge R_{1}(x,\omega ))\vee (z\neq 00\dots 0\wedge R_{2}(x,\omega ))}$.

По определению, в класс PH включены все классы полиномиальной иерархии, в том числе P и NP. Кроме того, он содержит вероятностные классы, такие как класс BPP (т.к. BPP содержится в классе ${\displaystyle \Sigma _{2}^{p}}$). Сам класс PH включён в класс PSPACE и класс P^PP (класс задач, которые решаются за полиномиальное время на машине Тьюринга с доступом к оракулу класса PP).

Установлено, что P = NP, тогда и только тогда, когда P = PH. Это утверждение может облегчить доказательство того, что P ≠ NP (если это так), поскольку нужно будет лишь отделить P от более общего класса, чем NP.