Măsura Lebesgue

Măsura Lebesgue este o modalitate generală de a defini, în spațiul euclidian, "conținutul" unei figuri geometrice, în caz particular, lungime, arie, volum. Numele i se datorează matematicianului francez Henri Lebesgue.

Definiție

Fie ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}$ spațiul măsurabil ${\displaystyle \mathbb {R} }$ înzestrat cu algebra boreliană. Există o unică măsură peste acest spațiu, numită măsură Lebesgue și notată ${\displaystyle \lambda ,}$ care posedă proprietățile:

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} ,\;\forall A\in {\mathcal {B}},\;\lambda (a+A)=\lambda (A)}$ (invarianță la translație)
• ${\displaystyle \lambda ([0,1])=1\,}$

Exemple

• Intervalele   ${\displaystyle [a,b]\,}$ și   ${\displaystyle (a,b)\,}$   au măsura Lebesgue de valoare   ${\displaystyle b-a\,}$.

• Produsul cartezian al intervalelor ${\displaystyle [a,b]\,}$ și ${\displaystyle [c,d]\,}$ are ca măsură Lebesgue aria ${\displaystyle (b-a)(d-c)\,}$.

• Mulțimea lui Cantor este nenumărabilă și are măsură Lebesgue nulă.

Vezi și

• Teoria măsurii

Portal Matematică