O teorema do virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante, ou seja,
:[1]
.
Considere-se a seguinte quantidade física:
.
Nessa expressão
e
são, respectivamente, o vetor posição e o vetor momento linear da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial
de um conjunto de
partículas é definido de tal forma que
.
O símbolo
representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.
A expressão "virial" deriva do latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius em 1870.
Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.
Dedução da expressão matemática para o virial
A derivada temporal de G pode ser escrita como
![{\displaystyle =\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d7d97ce5d735a9acbca2c934a855273aa3ae04)
ou, de modo mais simples,
![{\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4c6d6bdf4a4d2645d793dc874aaac3d74351af)
Aqui,
representa a massa da
-ésima partícula,
é a força líquida atuando sobre a partícula e
é a energia cinética total do sistema.
![{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df05d49ea38d5d0d6b109a02849a18d885a568a)
A média desta derivada no intervalo de tempo
é definida como:
![{\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165aa2fc01e3aeddcb0bcc198eda7af396a2f51d)
Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:
![{\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4392b126bd5c1987babf8e0cad98597c7793334)
Da expressão acima segue-se que, se
, então
![{\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70087853eef9a4d1b4fe557393e25fae42eb199)
Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,
.
Uma razão frequentemente citada se aplica a sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial
está normalmente entre dois valores extremos,
e
, e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos
![{\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13faaed2cf087a09e6620672d3b729c1d6b7bc5)
Mesmo se a média da derivada temporal
é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.
Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,
![{\displaystyle \left\langle T\right\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cf67e6a2bfa3da37eeeadd99c6d4a7393f5b56)
que é a expressão matemática para o Teorema do Virial.[2]
Relação com a energia potencial
A força total
atuando sobre a partícula
é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema,
![{\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d348319d8c0966df13a29d95935f4dc0ede304)
onde,
é a força aplicada pela partícula
na partícula
. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e407523424d60d5f567db12a0163a40a631429c0)
Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e.,
, sempre que
), temos que
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{j>k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d156ccaca488ba8db2e849d805f41348ba5e435c)
onde assumimos que a terceira lei de Newton pode ser aplicada, i.e.,
(reações iguais e opostas).
É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial
que é uma função somente da distância,
, entre as partículas
e
. Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso
![{\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac36e9ef517b364cd65c5d805e6ecf4190894b3)
a qual é igual e oposta a
, a força aplicada pela partícula
sobre a partícula
, como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}{\frac {\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)^{2}}{r_{jk}}}=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fbb5949b4d502b73d4cf1d35942b20128020d4)
Aplicação a forças que seguem uma lei da potência
É comum acontecer que a energia potencial
é uma função do tipo lei de potência
![{\displaystyle V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8312973ec44a0192254f9d068c79f62420401a46)
onde o coeficiente
e o expoente
são constantes. Em tais casos, temos:
![{\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251106dea4f0fba6d4017d16aff96c2f3c8d0fd8)
onde
é a energia potencial total do sistema
![{\displaystyle U=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63ded595ea5b8ce12af5d0c246cd3b5385c35cf)
Em tais casos, quando
, a equação geral torna-se
![{\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85c6ae4f796d4b8ec6d937f8ad83f0d3065fc68)
Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual
. Neste caso,
![{\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6198c7c8c5c26811fad9ebc168141eb5869b6688)
Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais
, também.
A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.
Inclusão de campos eletromagnéticos
O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico.[3]
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})dS_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69af3cd9783eee34518ae5b333bb7801b96cc632)
onde I é o momentum de inércia, G é o vetor de Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas, WE e WM são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, pik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local
,
e Tik é o tensor de stress eletromagnético,
![{\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54bd8565739836d23e3f71835c7fa7f9f750bac1)
Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia é aproximadamente MR2, e o lado esquerdo do teorema do virial é MR 2/τ2. Os termos no lado direito somam até cerca de pR3, onde p é o maior entre a pressão de plasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos
![{\displaystyle \tau \,\sim R/c_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a79a2f5d91424bed1b5b02e9baac63e0ed7119)
onde cs é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsito acústico (ou de Alfven).
Referências
- ↑ Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (em inglês) 2 ed. [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9
- ↑ Thornton, Stephen T; Marion, Jerry B (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (em inglês) 5 ed. [S.l.]: Cengage Learning. p. 278. ISBN 978-0534408961
- ↑ Schmidt, George (1979). Physics of High Temperature Plasmas (em inglês) 2 ed. [S.l.]: Academic Press. p. 72. ISBN 978-0-12-626660-3
Biblografia
- Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9