Em matemática, um número de Fermat é um número inteiro positivo da forma:[1]
![{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30d9d4b1346ac464869a5cee356ae0468de70f4)
sendo
um número natural.
Pierre de Fermat lançou a conjectura, em uma carta escrita para Marin Mersenne, que estes números eram primos.[1] Mas mais tarde, Leonard Euler provou que não era assim; para
, obtinha-se um número composto:[1]
![{\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2670d08002e700bf48a02992a2519d4d65cd8689)
Até hoje, apenas são conhecidos cinco números primos de Fermat; e não se sabe se há mais ou não:[1]
![{\displaystyle F_{0}=2^{2^{0}}+1=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a89781a2bbb4dfa85706b872c2f16e05181f92)
![{\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a965903e98548f05788109bc0e5ae9bd113cb9c3)
![{\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=17}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d3229a360c2309dc9a1f8be7c1b0bceae1ea93)
![{\displaystyle F_{3}=2^{2^{3}}+1=257}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9765a346e54d1e0cc6efd979f78236a20792a9a4)
![{\displaystyle F_{4}=2^{2^{4}}+1=65537}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cad087bfacf10c3a670f97df770d17397a59cb)
Os números de Fermat de ordem
até
,[2] bem como, números enormes como
e
são comprovadamente compostos.
Propriedades dos números de Fermat
- Um número de Fermat é igual ao produto de todos os anteriores mais 2.[1]
Prova por indução: Vale para
, pois
. Agora, se ele vale para
, então ele vale para
:
|
|
|
|
- Todo número de Fermat composto
pode ser decomposto em fatores primos na forma
, com
inteiro positivo.[1] - Pode-se provar que dois números de Fermat distintos são primos entre si.
- Se
é um número primo, então o polígono regular de
lados pode ser construído com régua e compasso.[1]
Primalidade dos números de Fermat
Números de Fermat e primos de Fermat foram estudadas pela primeira vez por Pierre de Fermat, que conjecturado (mas admitiu que não poderia provar) que todos os números de Fermat são primos. De fato, os primeiros cinco números de Fermat
são primos. No entanto, esta conjectura foi refutada por Leonhard Euler em 1732, quando ele mostrou que
Euler provou que todo o elemento de
deve ter a forma que
(depois melhorou para
por Lucas).
O fato de que 641 é um fator de
pode ser facilmente deduzido a partir das igualdades
e
. Segue-se a partir da primeira igualdade que
e, portanto, (elevar à quarta potência) que
. Por outro lado, a segunda igualdade implica que
. Estes congruências implica que
.
Acredita-se que Fermat estava ciente da forma de os fatores mais tarde comprovadas por Euler, por isso parece curioso porque ele não conseguiu acompanhar, através de cálculo simples para encontrar o fator.[3] Uma explicação comum é que Fermat cometeu um erro computacional e estava tão convencido da justeza da sua afirmação de que ele não conseguiu verificar novamente seu trabalho.
Não existem outros números primos de Fermat conhecidos
com
. No entanto, pouco se sabe sobre os números de Fermat com maiores que
.[4] Na verdade, cada um dos seguintes é um problema em aberto:
- É
composto para todos
? - Existem infinitos números primos de Fermat ? (Eisenstein 1844)[5]
- Existem infinitos números de Fermat compostos ?
Desde 2014[update] sabe-se que
é composto por
, embora as fatorizações completas de
são conhecidas apenas para
, e não há fatores conhecidos para
e
.[6] O maior número Fermat conhecido por ser composto é
, e suas fator primo
, um Megaprimo, foi descoberto pela colaboração PrimeGrid em julho de 2014.[6][7]
Argumentos heurísticos para a densidade
O seguinte argumento heurístico sugere que há apenas alguns números primos finito de Fermat: de acordo com o teorema de número primo, a "probabilidade" de que um número
ser primo é, no máximo,
, em que
é uma constante fixa. Portanto, o número esperado máximo de números primos Fermat é
![{\displaystyle {\begin{aligned}A\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\ln F_{n}}}&={\frac {A}{\ln 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}}+1)}}\\&<{\frac {A}{\ln 2}}\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\\&={\frac {2A}{\ln 2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df57f899be8396f0dec0443366851a3294b0f206)
Ressalte-se que este argumento é de nenhuma maneira uma prova rigorosa. Por um lado, o argumento pressupõe que os números de Fermat se comportam "de forma aleatória", mas já vimos que os fatores de números de Fermat tem propriedades especiais.
Se (mais sofisticada) consideramos o condicional probabilidade de que
é primo, uma vez que sabemos todos os seus fatores primos excedem
, como a mais
, em seguida, usando o teorema de Euler que o fator menos nobre de
excede
, encontraríamos vez
![{\displaystyle {\begin{aligned}A\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln 2^{n+1}}{\ln F_{n}}}&=A\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log _{2}2^{n+1}}{\log _{2}(2^{2^{n}}+1)}}\\&<A\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)2^{-n}\\&=4A.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d4e3d36735709e43249105c222b673d9bf958d)
Embora tais argumentos geram a crença de que há apenas alguns números primos de Fermat finito, também se pode produzir argumentos para a conclusão oposta. Suponha que nós consideramos a probabilidade condicional de que
seja primo, uma vez que sabemos todos os seus fatores primos são
modulo
, como, pelo menos,
. Em seguida, usando o resultado de Euler que
veremos que o número total esperado de números primos de Fermat seja pelo menos,
![{\displaystyle {\begin{aligned}C\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n+1}}{\ln F_{n}}}&={\frac {C}{\ln 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n+1}}{\log _{2}(2^{2^{n}}+1)}}\\&>{\frac {C}{\ln 2}}\sum _{n=0}^{\infty }1\\&=\infty ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17f650514efe0ed5a4cef003b9d2375f9b8e67e)
e na verdade este argumento prevê que um assintoticamente fração constante dos números de Fermat são primos.
Condições equivalentes de primalidade
Há uma série de condições que são equivalentes para a primalidade de
.
- Teorema de Proth (1878)—Permite que
com o antigo
. Se houver um número inteiro
tal que
![{\displaystyle a^{\frac {N-1}{2}}\equiv -1{\pmod {N}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f68f54cef0056b54cf58f2ec31b7ef89a9d47c)
- Tal que
seja primo. Por outro lado, se a congruência acima não ter, e além
(Veja Símbolo de Jacobi)
- Tal que
seja composto. Se
,
em seguida, o símbolo de Jacobi acima é sempre igual a
para
, e neste caso especial do teorema de Proth é conhecido como teste de Pépin. Embora o teste de Pépin e teorema de Proth foram implementados em computadores para provar o grau de composição de alguns números de Fermat, nem o teste dá um fator não trivial específico. Na verdade, não existe fatores primos específicos conhecidos por
e
.
- Permite que
seja um inteiro positivo anterior. Tal que
seja um número primo de Fermat se e apenas se a cada
co-primo
seja um módulo de raiz primitiva
se e somente se
for um módulo resíduo não quadrático de
.
- O número de Fermat
é primo se e apenas se puder ser escrito unicamente como uma soma de dois quadrado diferentes de zero, mais conhecido
![{\displaystyle F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416afb0acb5b035065a298c13c90e60e23ab5a63)
- Quando
não é da forma acima indicada, um factor adequado é:
(Veja Máximo divisor comum)
, assim um factor adequado é
![{\displaystyle {MDC}(62264\,+\,2^{2^{4}}\times 20449,\,F_{5})=641.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92fa4ecb76b87623a5329418c0dcd4f3e06ca58b)
, assim um factor adequado é
![{\displaystyle {MDC}(4046803256\,+\,2^{2^{5}}\times 1438793759,\,F_{6})=274177.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb315155728661d3fcddb66c05c16abc0993368)
Problemas em aberto
Eis algumas questões em aberto a respeito dos números de Fermat:
- Serão finitos os números primos de Fermat?[1]
- Se são finitos, quantos são?
- Se são infinitos, serão os números compostos de Fermat finitos?
- Serão todos os números de Fermat inteiros sem fator quadrático?
Ver também
Referências
- ↑ a b c d e f g h «The Prime Glossary: Fermat number». Primes (em inglês). Consultado em 31 de outubro de 2022
- ↑ «Prime Curios! Home Page». Primes (em inglês). Consultado em 31 de outubro de 2022
- ↑ Křížek, Luca & Somer 2001, p. 38, Remark 4.15
- ↑ Chris Caldwell, "Prime Links++: special forms" Arquivado em 24 de dezembro de 2013, no Wayback Machine. at The Prime Pages.
- ↑ Ribenboim 1996, p. 88.
- ↑ a b Keller, Wilfrid (February 7, 2012), Prime Factors of Fermat Numbers Arquivado em 10 de fevereiro de 2016, no Wayback Machine. (em inglês)
- ↑ «PrimeGrid's Mega Prime Search - 193*2^3329782+1 (official announcement)» (PDF). PrimeGrid. Consultado em 7 de agosto de 2014
Bibliografia
- Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 0-387-95332-9 (em inglês)
- David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, 2011 ISBN 1-118-04571-8 (em inglês)
- Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st Edition, CRC Press, 2002. ISBN 1-420-03534-7. (em inglês)
- James K. Strayer, Elementary Number Theory, Waveland Press, 2001 ISBN 1-478-61040-9 (em inglês)
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5 (em inglês)
Ligações externas
- «Informações gerais sobre os números de Fermat» (em inglês)
- Ribenboim, P., The new book of prime number records 3aed., Springer, Ontário, 1995, ISBN 0-387-94457-5
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Da forma a × 2b ± 1 | |
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![{\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93eb116c31324099b69d936d520e6ef3fcda921d) - Mersenne
![{\displaystyle (2^{p}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5e3ddbb373726b17a26e34126deb55b166ff87) - Duplo de Mersenne
![{\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1835aef839f9ef44f748cf67674c0a166bdbfd71) - Wagstaff
![{\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b13cbecae516f39a0998209d053c401033088d) - Proth
![{\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a850b678bdf0a7ceb6c90577df3495fc1de474) - Factorial
![{\displaystyle (n!\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4d60dd075b15589cb182b42f152d2e587065d) - Primorial
![{\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1df4e8d29b9b8264895c9151398c1d001b89ad) - Euclides
![{\displaystyle (p_{n}\#+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de51224ceb61b6f827fb670418610979303be5d) - Pitagórico
![{\displaystyle (4n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d18b0f0a91a43ccc00ddfa91b35eed27fec64c1) - Pierpont
![{\displaystyle (2^{u}\cdot 3^{v}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854cb663ae04c0df2df501c45d7530801b114af3) - Solinas
![{\displaystyle (2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f809f55e5abbe8d8b94dbb73ba1670a639935b0e) - Cullen
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e9e6b97738ef48e8096a5942bce7ced58b3a49) - Woodall
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9e31860bad845dd75f9cf41cf058cdb88b5cc) - Cubano
![{\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2e1aac9d468b948ad331e322f944695e3f0d28) - Carol
![{\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ec427e1adf93b03b27ab1550bf348a593ac8b4) - Kynea
![{\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d38f86286d8b9c9dc6ceb821972d02d1c4e91a) - Leyland
![{\displaystyle (x^{y}+y^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d67405b47972b5c1d3c5befde643e0ddf53563e) - Thabit
![{\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4459f9d79b1127316dc202da3465bbf76b67d36f) - Mills (chão
) |
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Por sequência de inteiros | - Fibonacci
- Lucas
- Motzkin
- Bell
- Partições
- Pell
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- Newman–Shanks–Williams
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Por propriedade | - Da sorte
- Wall–Sun–Sun
- Wilson
- Wieferich
- Par de Wieferich
- Afortunado
- Ramanujan
- Pillai
- Regular
- Forte
- Stern
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- Wolstenholme
- Bom
- Superprimo
- Higgs
- Altamente cototiente
- Ilegal
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Dependentes de bases | |
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Padrões | - Gémeos
![{\displaystyle (p,p+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e1ec03d48e4042e402393086457ebfec09afc4) - Tripla
![{\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4627bdddefde6d58ea32e73a6b47e22f3ef57522) - Quádrupla
![{\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e6d4d2753696bd3114c75a4a70f3985cdcafe1) - Tuplo
- Primos primos
![{\displaystyle (p,p+4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9ff8c80c8d3af43a6529aee1c3844a26bfe26c) - Sexy
![{\displaystyle (p,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605f75125b6e36d8b882393e85225236b1a7171a) - Chen
- Sophie Germain
![{\displaystyle (p,2p+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563a6a04da136c0b990202365d35e21337936490) - Cadeia de Cunningham
![{\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db06a6b86bc0a433c31df298769dbddd3b31a1ba) - Seguro
![{\displaystyle (p,{\frac {(p-1)}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c1bbe273d7e6db1a2054eba84dc790cd07ad30) - Progressão aritmética
![{\displaystyle (p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd39ae6bb92fd213322a52fa76afde457fd06fd9) - Equilibrado (consecutivos
![{\displaystyle p-n,p,p+n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7552e9db33203a780ff20262082dcefacf132099) |
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Por dimensão | - Titânico (
dígitos) - Gigantesco (
) - Megaprimo (
) - Maior conhecido
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Números complexos | |
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Números compostos | |
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- Fórmula para números primos
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