Przestrzeń Aleksandrowa

Przestrzeń Aleksandrowa – przestrzeń topologiczna, dla której część wspólna dowolnej rodziny jej podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzenie Aleksandrowa zostały zdefiniowane przez Pawła Aleksandrowa w roku 1937 pod nazwą „przestrzenie dyskretne”^[1].

Charakteryzacja

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią topologiczną, to następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Aleksandrowa,
2. Suma dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w ${\displaystyle X}$ jest zbiorem domkniętym,
3. Dla każdego punktu ${\displaystyle x\in X}$ istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) jego otoczenie otwarte,
4. Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu ${\displaystyle x\in X}$ jest domknięty na dowolne przekroje,
5. Operacja wnętrza na ${\displaystyle X}$ jest rozdzielna względem dowolnych przekrojów,
6. Operacja domknięcia na ${\displaystyle X}$ jest rozdzielna względem dowolnych sum mnogościowych,
7. Istnieje taki praporządek ${\displaystyle \leqslant }$ na ${\displaystyle X,}$ że zbiór ${\displaystyle U\subseteq X}$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\leqslant y}$ implikuje ${\displaystyle y\in U}$ dla każdych ${\displaystyle x\in U,y\in X.}$
8. Istnieje taki praporządek ${\displaystyle \leqslant }$ na ${\displaystyle X,}$ że zbiór ${\displaystyle U\subseteq X}$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\geqslant y}$ implikuje ${\displaystyle y\in U}$ dla każdych ${\displaystyle x\in U,y\in X.}$
9. Istnieje taki praporządek ${\displaystyle \leqslant }$ na ${\displaystyle X,}$ że zbiór ${\displaystyle U\subseteq X}$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\leqslant y}$ implikuje ${\displaystyle y\in U}$ dla każdych ${\displaystyle x\in U,y\in X.}$

Przykłady

• Każda skończona przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Aleksandrowa.
• Przestrzeń dyskretna jest topologią Aleksandrowa.
• Zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią Aleksandrowa z topologią wprowadzoną przez bazę

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{[-r,\,r]\colon \,r\geqslant 0\}.}$

Własności

• Przestrzeń T1 jest przestrzenią Aleksandrowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest dyskretna. W szczególności jedynymi przestrzeniami metryzowalnymi Aleksandrowa są przestrzenie dyskretne.
• Podprzestrzeń, przestrzeń ilorazowa i skończony produkt przestrzeni Aleksandrowa są przestrzeniami Aleksandrowa.
• Obraz przestrzeni Aleksandrowa poprzez przekształcenie ciągłe jest przestrzenią Aleksandrowa.

Przypisy

Bibliografia

• Peter T. Johnstone, Stone spaces, Cambridge University Press (1982)