Dynkinsysteem

Een Dynkinsysteem op een niet-lege verzameling is in de maattheorie een collectie deelverzamelingen vergelijkbaar met een σ-algebra. Dynkinsystemen zijn genoemd naar de Russische wiskundige Eugene Borisovich Dynkin. Ze ontlenen hun belang aan de toepassing, voornamelijk in de (Lebesgue-)integraalrekening en de kansrekening, van de stelling van Dynkin.

Definitie

Een collectie deelverzamelingen ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ van een niet-lege verzameling Ω heet een Dynkinsysteem als de volgende eigenschappen van toepassing zijn op het 'systeem' ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$:

• de verzameling Ω behoort zelf tot het systeem

${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {D}}}$.

• het systeem is gesloten onder relatieve complementvorming

${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}{\mbox{ en }}A\subseteq B\implies B\setminus A\in {\mathcal {D}}}$

• het systeem is gesloten onder vereniging van stijgende rijen

${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}{\mbox{ en }}A_{n}\subseteq A_{n+1}\implies \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {D}}}$

Als ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ een willekeurige verzameling van deelverzamelingen van ${\displaystyle \Omega }$ is, dan is de doorsnede van alle Dynkinsystemen die ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ omvatten, zelf ook een Dynkinsysteem. We noemen deze doorsnijding het Dynkinsysteem dat gegenereerd wordt door ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$. Het is tevens het kleinste Dynkinsysteem dat ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ omvat.

De machtsverzameling van Ω is altijd een Dynkinsysteem, dus er is altijd minstens één Dynkinsysteem dat ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ omvat.

Een Dynkinsysteem dat ook een pi-systeem is, is een sigma-algebra.

Stelling van Dynkin

Als ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ een collectie deelverzamelingen is van ${\displaystyle \Omega }$ die gesloten is onder eindige doorsnede, en ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ een Dynkinsysteem dat ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ omvat, dan omvat ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ook ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$, de sigma-algebra voortgebracht door de elementen van ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.