Logaritmo naturale

Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove ${\displaystyle e}$ è uguale a ${\displaystyle 2{,}71828\ldots }$ Il logaritmo naturale è definito per tutte le ${\displaystyle x}$ reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero^[1].

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che ${\displaystyle \ln(x)}$ è il numero per cui ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le ${\displaystyle x}$ reali positive.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di ${\displaystyle a}$ è l'area sottesa dal grafico di ${\displaystyle 1/x}$ da ${\displaystyle 1}$ ad ${\displaystyle a}$. In altre parole, è il valore dell'integrale

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx,\quad \quad {\text{ per ogni }}a>0.}$

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).}$

Questo può essere dimostrato definendo ${\displaystyle t=x/a}$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).}$

Il numero ${\displaystyle e}$ può essere definito come l'unico numero reale ${\displaystyle a}$ tale che ${\displaystyle \ln(a)=1.}$

• In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "${\displaystyle \log(x)}$" per intendere ${\displaystyle \log _{e}(x);}$ altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (ad esempio ${\displaystyle \log _{10}(x)}$ è il logaritmo in base ${\displaystyle 10}$ di ${\displaystyle x}$).^{[2][3][4][5][6]}
• In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "${\displaystyle \ln(x)}$" o (raramente) "${\displaystyle \log _{e}(x)}$" per intendere il logaritmo naturale di ${\displaystyle x}$, mentre si scrive "${\displaystyle \log(x)}$" per intendere ${\displaystyle \log _{10}(x).}$
• In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: ${\displaystyle \mathrm {Log} }$^[1].
• Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
• Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base ${\displaystyle 10}$.
• Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per ${\displaystyle \log(N)}$ si sottintende il logaritmo in base 2 di ${\displaystyle N.}$

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:

${\displaystyle e^{\ln(x)}=x,\quad }$ per tutte le ${\displaystyle x}$ positive e

${\displaystyle \ln(e^{x})=x,\quad }$ per tutte le ${\displaystyle x}$ reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da ${\displaystyle 1}$, non solo ${\displaystyle e}$, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da^[7]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}$

La serie di Taylor centrata in ${\displaystyle 0}$ del logaritmo naturale è^[8]:

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n},\quad {\text{ per }}-1<x\leq 1.}$

Utilizzando l'identità

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right),\quad {\text{ per }}x>0,}$

e sostituendo ${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}}$ nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

${\displaystyle \ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1},\quad {\text{ per }}x>0.}$

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni ${\displaystyle x}$ con valore assoluto maggiore di ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots .}$

Si noti inoltre che ${\displaystyle x \over {x-1}}$ è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero ${\displaystyle y}$ è sufficiente sostituire ${\displaystyle y \over {y-1}}$ al posto di ${\displaystyle x}$.

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}={\frac {1}{x-1}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{-n}}{1+x^{2^{-n}}}},{\text{ per }}x>0.}$

Un altro procedimento per la stima di ${\displaystyle \ln(x)}$ è fornito dall'algoritmo Newton-Raphson: ${\displaystyle y=\ln(x)}$ è la soluzione dell'equazione ${\displaystyle e^{y}-x=0}$, che partendo da una approssimazione arbitraria ${\displaystyle y_{0}}$, si può ottenere iterativamente trovando un'approssimazione successiva, progressivamente più vicina.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}-{\frac {g(y_{n})}{g'(y_{n})}}=y_{n}-{\frac {e^{y_{n}}-x}{e^{y_{n}}}}=y_{n}-1+{\frac {x}{e^{y_{n}}}}.}$

Al posto dell'esponenziazione è possibile sfruttare o la serie di Taylor per l'esponenziale, o il limite fondamentale ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {y_{n}}{m}}\right)^{m}}$ per ottenere risultati algebrici.^[9]

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti^[10]:

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma ${\displaystyle g(x)=f'(x)/f(x)}$ che si traducono nella scrittura ${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

${\displaystyle {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.}$

Cioè^[11]

${\displaystyle \int {dx \over x}=\ln |x|+C,}$

e^[12]

${\displaystyle \int {{f^{'}(x) \over f(x)}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$

Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx,}$

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.}$

Da cui ponendo ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$ si ha che ${\displaystyle f'(x)=-\sin(x)}$ e quindi:

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C,}$

${\displaystyle \int \cot(x)\,dx=\ln {\left|\sin(x)\right|}+C,}$

dove ${\displaystyle C}$ è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica ^[13] era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base ${\displaystyle 10}$. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di ${\displaystyle 10}$):

${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}},}$

che diventa:

${\displaystyle \ln x={\frac {\operatorname {Log} x}{\operatorname {Log} e}}.}$

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

${\displaystyle \operatorname {Log} e=0,43429\ldots }$

e

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Log} e}}=2{,}30258\ldots .}$

• Guido Fubini Lezioni di analisi matematica (Torino: Società tipografico-editrice nazionale, 1920)
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (2002): Elementi di analisi matematica uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8
• Walter Rudin (1953): Principi di analisi matematica, McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1
• Carla Maderna e Paolo Maurizio Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.
• Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.
• (EN) A. W. Knapp (2005): Basic Real Analysis, Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6
• (EN) Nicolas Bourbaki (2004): Elements of Mathematics. Functions of a real variable, Springer, ISBN 3-540-65340-6

• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche
• Serie di Mercator

• (EN) natural logarithm, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Logaritmo naturale, su MathWorld, Wolfram Research.