Béta-eloszlás

Az X valószínűségi változó α és β paraméterű béta-eloszlást követ – vagy rövidebben béta-eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

f ( x ) = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 , x ∈ [ 0 , 1 ] , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},\quad x\in [0,1],\quad }

és f(x) = 0 egyébként. A képletben Γ(x) a gamma-függvény, B(α, β) a béta-függvény valamint α és β pozitív.

Speciálisan, ha α = 1 és β = 1, akkor X a [0,1] intervallumon vett egyenletes eloszlást követ.

A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

Karakterisztikus függvénye

A béta-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

E ( X ) = α α + β {\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}

Szórása

D ( X ) = 1 α + β α β ( α + β + 1 ) {\displaystyle \mathbf {D} (X)={\frac {1}{\alpha +\beta }}{\sqrt {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta +1)}}}}

Momentumai

E ( X k ) = Γ ( α + k ) Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( α + β + k ) {\displaystyle \mathbf {E} (X^{k})={\frac {\Gamma (\alpha +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +k)}}}

Ferdesége

Lapultsága

Béta-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

  • Az α és β paraméterek szerepének felcserélésével a sűrűségfüggvény az x = 1/2 egyenesre tükröződik.

Források

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.