Pseudorapidität

Gegenüberstellung von Polarwinkel θ {\displaystyle \theta } und Pseudorapidität η {\displaystyle \eta } für einige beispielhafte Werte.
Als Vorwärtsrichtung bezeichnet man den Winkelbereich mit großen Werten von η {\displaystyle \eta } .

Die Pseudorapidität η {\displaystyle \eta } (eta) ist eine räumliche Koordinate, die in der experimentellen Teilchenphysik verwendet wird, um den Winkel eines Vektors relativ zur Strahlachse anzugeben. Sie wird gegenüber der Angabe des Polarwinkels θ {\displaystyle \theta } bevorzugt, weil bei Hadron-Hadron-Kollisionen der Fluss der erzeugten Teilchen pro Pseudorapiditäts-Intervall etwa konstant ist.

Die Pseudorapidität ist definiert als

η = − ln ⁡ [ tan ⁡ ( θ 2 ) ] . {\displaystyle \eta =-\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right].}

Für ein Teilchen mit Impuls p → {\displaystyle {\vec {p}}} (und | p → | = p {\displaystyle \left|{\vec {p}}\right|=p} ) lässt sich dies umschreiben in:

η = artanh ⁡ ( p L / p ) = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( p + p L p − p L ) , {\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} (p_{L}/p)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right),}

worin

  • artanh {\displaystyle \operatorname {artanh} } die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist und
  • der Longitudinalimpuls p L {\displaystyle p_{L}} die Impulskomponente entlang der Strahlachse.

In der Hochenergienäherung, d. h. für ein Teilchen mit der Energie E {\displaystyle E} , dessen Masse m {\displaystyle m} gegenüber seinem Impuls p {\displaystyle p} vernachlässigbar ist, m ≪ p ⇒ E ≈ p {\displaystyle m\ll p\Rightarrow E\approx p} , ist die Pseudorapidität numerisch in etwa gleich der Rapidität

η ≈ y , {\displaystyle \eta \approx y,}

die in der experimentellen Teilchenphysik definiert wird als

y = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( E + p L E − p L ) . {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p_{L}}{E-p_{L}}}\right).}

Zum Vergleich: die originale Rapidität gemäß der speziellen Relativitätstheorie ist

ϑ = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( E + p E − p ) = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( 1 + β 1 − β ) , {\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p}{E-p}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right),}

worin β = v / c {\displaystyle \beta =v/c} das Verhältnis der Teilchengeschwindigkeit v {\displaystyle v} zur Lichtgeschwindigkeit c {\displaystyle c} ist.

Die Form des differentiellen Wirkungsquerschnitts d σ / d y {\displaystyle d\sigma /dy} ist invariant unter einem Lorentz-Boost. Das Gleiche gilt in guter Näherung auch für die Pseudorapidität, nur ist diese leichter zu messen: Nicht die Masse des Teilchens muss ermittelt werden, sondern lediglich seine Flugrichtung durch den Detektor.