Kugelkondensator

Unter einem Kugelkondensator oder sphärischen Kondensator^[1] versteht man einen elektrischen Kondensator, der aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien ${\displaystyle R_{1}}$ und ${\displaystyle R_{2}}$ gilt

${\displaystyle C=4\pi \varepsilon {\frac {R_{2}R_{1}}{R_{2}-R_{1}}}}$, mit ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$

ε₀ ist hierbei die elektrische Feldkonstante. ε_r ist die Dielektrizitätszahl, welche im Vakuum gleich 1 ist.

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R₁ und R₂ gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

${\displaystyle \mathrm {d} {\frac {1}{C}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{A(r)}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}}$

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {1}{C}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\cdot \left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition ${\displaystyle C={\frac {Q}{U}}}$ nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Wenn ${\displaystyle d=R_{2}-R_{1}\ll R_{1}}$, kann man angenähert ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R}$ setzen und erhält ${\displaystyle C=4\pi \varepsilon {\frac {R^{2}}{d}}}$.

Wenn ${\displaystyle R_{1}\ll R_{2}}$ ist, kann man angenähert ${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R_{2}}$ setzen und erhält ${\displaystyle C=4\pi \varepsilon R_{1}}$. Die Kapazität wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel (auch als Kugelelektrode^[1] bezeichnet), da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist (${\displaystyle R_{2}\to \infty }$ und somit ${\displaystyle R_{1}\ll R_{2}}$). Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente früher als Maßeinheit der Kapazität mit folgender Äquivalenz:

${\displaystyle 1\,\mathrm {cm} \equiv 4\pi \varepsilon _{0}\cdot 1\,\mathrm {cm} \approx 1{,}11265\,\mathrm {pF} }$

Beim Kugelkondensator geht man davon aus, dass die beiden Elektroden mit der Ladung ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle -Q}$ entgegengesetzt geladen sind. Diese Ladungen befinden sich als Flächenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflächen. Dann lässt sich die Ladungsdichte schreiben als ${\displaystyle \varrho (r)={\frac {Q}{4\pi R_{1}^{2}}}\,\delta (r-R_{1})-{\frac {Q}{4\pi R_{2}^{2}}}\,\delta (r-R_{2})}$ , wobei ${\displaystyle \delta }$ die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Der Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente ${\displaystyle E_{r}}$. Diese lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {Q}{4\pi r^{2}\varepsilon }}}$ wobei ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand ${\displaystyle r}$ zum Mittelpunkt des Kondensators. Innerhalb der Elektroden und außerhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden.

Das elektrische Potential ist ein nur von ${\displaystyle r}$ abhängiges Skalarfeld und berechnet sich, bis auf eine additive Konstante, als ${\displaystyle \varphi (r)=-\int _{\infty }^{r}E_{r}(r')\,dr'}$. Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden:

• Für ${\displaystyle r\geq R_{2}}$ ist ${\displaystyle \varphi (r)=0}$.
• Für ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$ ist ${\displaystyle \varphi (r)=-\int _{R_{2}}^{r}E_{r}(r')dr'={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$.
• Für ${\displaystyle r\leq R_{1}}$ ist ${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$.

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

${\displaystyle U=\varphi (R_{1})-\underbrace {\varphi (R_{2})} _{=0}=\int _{R_{1}}^{R_{2}}E_{r}(r)\,\mathrm {d} r\,={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$

• Eugen Philippow (Hrsg.): Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1. Verlag Technik, Berlin 1968, DNB 365695874, S. 308 ff. 
• Klaus Lunze: Einführung in die Elektrotechnik: Leitfaden und Aufgaben Teil I: Elektrische Kreise bei Gleichstrom und das elektrische Feld. 3. Auflage. Verlag Technik, Berlin 1964, DNB 453110886, S. 181 ff. 

1. ↑ ^{a b} Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest&Portig K.-G., Leipzig 1967, DNB 457803371, S. 82 ff.