Ultrafiltr

Ultrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.

Definice

Je-li ${\displaystyle X\,\!}$ množina a ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\,\!}$ její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!}$ je ultrafiltr, pokud platí:

1. ${\displaystyle F\,\!}$ neobsahuje prázdnou množinu
2. ${\displaystyle A,B\in F\implies A\cap B\in F\,\!}$
3. ${\displaystyle (A\in F\land A\subseteq B)\implies B\in F\,\!}$
4. ${\displaystyle (\forall A\in \mathbb {P} (X))(A\in F\vee X-A\in F)\,\!}$

Vysvětlení definice

Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina – jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr – ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\,\!}$

Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina ${\displaystyle A\subseteq X\,\!}$ nebo její doplněk ${\displaystyle (X-A)\subseteq X\,\!}$. Pokud by pro některou množinu ${\displaystyle A\subseteq X\,\!}$ obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i ${\displaystyle A\cap (X-A)=\emptyset \,\!}$ , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální – jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.

Zjednodušeně řečeno, ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina – její doplněk vybírá právě jednu možnost.

Příklady a vlastnosti

Triviální ultrafiltr

Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny ${\displaystyle A\subseteq X\,\!}$, hlavní filtr určený množinou ${\displaystyle A\,\!}$ tedy lze zapsat jako
${\displaystyle F(A)=\{B\subseteq X:A\subseteq B\}\,\!}$
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry – jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou ${\displaystyle A=\{a\}\,\!}$, kde ${\displaystyle a\in X\,\!}$. Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.

Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální – celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny ${\displaystyle X\,\!}$.
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny ${\displaystyle X\,\!}$.

Uniformní ultrafiltr

Ultrafiltr ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.

Základní věta o ultrafiltrech

Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.

Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality – větu nelze dokázat bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.

Dualita s prvoideálem

Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem – prvoideál. Ke každému ultrafiltru ${\displaystyle F\,\!}$ existuje duální prvoideál – množina všech doplňků z ${\displaystyle F\,\!}$:
${\displaystyle F^{*}=\{X-A:A\in F\}\,\!}$

Vztah platí i opačně – množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr – duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí
${\displaystyle (F^{*})^{*}=F\,\!}$

Související články

• Filtr
• Prvoideál
• Fréchetův filtr
• Uniformní filtr