Vyjádříme-li meromorfní funkci v okolí jejího izolovaného singulárního bodu Laurentovou řadou (pro ), pak číslo se nazývá reziduum funkce v bodě .
Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme
Reziduová věta
Mějme jednoduchoukonečnou po částech hladkou uzavřenou křivku , která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku . Uvažujme funkci , která je v holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů a s výjimkou těchto bodů spojitá v . Pak integrál
je roven součtu reziduí funkce v bodech , tzn.
,
kde označuje reziduum funkce v bodě .
Výpočet reziduí
Má-li meromorfní funkcef definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:
Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako
Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:
Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.
Související články
Laurentova řada
Pahýl
Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.